黎曼积分
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黎曼积分
定义
设 \(\Omega\) 为有限的几何体（一段曲线，一段曲面，一块有限空间体），\(u = f(P)\) 是定义在 \(\Omega\) 上的点函数，将 \(\Omega\) 任意分成 \(n\) 个小的几何体，\(\Delta\Omega_1,\Delta\Omega_2,\cdots,\Delta\Omega_n\)，并用此记号表示其几何量，称 \(\sup\limits_{P_1, P_2 \in \Delta\Omega_i}\left\{\left\vert P_1P_2 \right\vert\right\} = d_i\) 为 \(\Delta\Omega_i\) 的直径，\(\lambda = \max\limits_{i=1,2,\cdots,n}\{d_i\}\)，然后在每个小的几何形体 \(\Delta\Omega_i\) 上做乘积 \(f(P_i)\Delta\Omega_i, P_i \in \Delta\Omega_i\)，并将它们加起来，得 \(\sum_{i=1}^n f(P_i)\Delta\Omega_i\)。如果不论 \(\Omega\) 如何分，\(P_i \in \Delta\Omega_i\) 如何取，下述极限 \(\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i)\Delta\Omega_i\) 均存在且相等，则称 \(f(P)\) 在 \(\Omega\) 上可积，其极限值为 \(f(P)\) 在 \(\Omega\) 上黎曼积分。一般记号，\(\lim\limits_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i)\Delta\Omega_i \triangleq \int\limits_\Omega f(P)d\Omega\)
性质
- \(\int\limits_\Omega f(P)d\Omega = \int\limits_\Omega f(P)dV\)，积分与变量无关
- \(\int\limits_\Omega d\Omega = \Omega\)
- \(\int\limits_\Omega \left[\alpha f(P) \pm \beta g(P)\right]d\Omega = \alpha \int\limits_\Omega f(P)d\Omega \pm \beta\int\limits_\Omega g(P)d\Omega\)
- 若 \(\Omega = \Omega_1 + \Omega_2\)，则 \(\int\limits_\Omega f(P) d\Omega = \int\limits_{\Omega_1} f(P) d\Omega + \int\limits_{\Omega_2} f(P)d\Omega\)
- 若 \(f(P) \ge g(P), P \in \Omega\)，则 \(\int\limits_\Omega f(P) d\Omega \ge \int\limits_\Omega g(P)d\Omega\)
- 若 \(P \in \Omega\)，则 \(\left\vert \int\limits_\Omega f(P)d\Omega \right\vert \le \int\limits_\Omega \left\vert f(P) \right\vert d\Omega\)
- 若 \(m \le f(P) \le M, P \in \Omega\)，则 \(m\Omega \le \int\limits_\Omega f(P)d\Omega \le M\Omega\)
- 设 \(f(P)\) 是有界闭区域 \(\Omega\) 上连续函数，则 \(\int\limits_\Omega f(P)d\Omega = f(P^*)\Omega, P^* \in \Omega\)
- 若 \(\Omega\) 关于 \(x=0(y=0,z=0)\) 对称，且 \(f(P)\) 是关于 \(x(y,z)\) 的奇函数，则 \(\int\limits_\Omega f(P)d\Omega = 0\)
一般意义
表示以 \(f(P)\) 为密度函数的几何体 \(\Omega\) 的质量代数和。
二重积分
定义
若 \(D\) 是坐标面（不妨设为）\(oxy\) 平面上的一个有界闭区域，在坐标系下 \(f(P)\) 就是一个二元函数 \(f(x,y)\)，称它在 \(D\) 上的黎曼积分为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的二重积分，记为 \[ \iint\limits_D f(x,y)d\sigma = \iint\limits_D f(x,y)dxdy \]
物理意义
表示以 \(f(x,y)\) 为面密度的有限平面区域质量的代数和。
几何意义
表示以 \(D\) 为底，以 \(z=f(x,y)\) 为顶的曲顶柱体体积的代数和。
计算公式
\(Y-\) 型：\(\begin{cases} a \le y \le b \\ \varphi(y) \le x \le \psi(y) \end{cases}\) \[ \iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dy \int_{\varphi(y)}^{\psi(y)}f(x,y)dx \]
\(X-\) 型：\(\begin{cases} a \le x \le b \\ \varphi(x) \le y \le \psi(x) \end{cases}\) \[ \iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dx \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy \]
极坐标系：\(\begin{cases} \alpha \le \theta \le \beta \\ \varphi(\theta) \le r \le \psi(\theta) \end{cases}\) \[ \iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\varphi(\theta)}^{\psi(\theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta)rdr \]
积分换序
如果 \(X-\) 型走不通，不妨用 \(Y-\) 型试试。
三重积分
定义
若 \(\Omega\) 是一有限空间体，\(f(P)\) 是 \(\Omega\) 上的点函数，在坐标系下 \(f(P)\) 就是一个三元函数 \(f(x,y,z)\)，它在 \(\Omega\) 上的黎曼积分称之为 \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上的三重积分，记为 \[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)d\Omega = \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dxdydz \]
物理意义
表示以 \(f(x,y,z)\) 为体密度的有限空间体 \(\Omega\) 质量的代数和。
计算方法
柱形域：\(\begin{cases} \varphi(x,y) \le z \le \psi(x,y) \\ (x,y) \in D_{xy} \end{cases}\) \[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z) dxdydz = \iint\limits_{D_{xy}}dxdy \int_{\phi(x,y)}^{\psi(x,y)}f(x,y,z)dz \]
片型域：\(\begin{cases} a \le z \le b \\ (x,y) \in D_z \end{cases}\) \[ \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \int_a^b dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy \]
球坐标系：\(\begin{cases} a \le \theta \le b \\ c \le \phi \le d \\ g(\theta, \phi) \le \rho \le h(\theta, \phi) \end{cases}\) \[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dxdydz = \int_a^b d\theta \int_c^d d\phi \int_{g(\theta, \phi)}^{h(\theta, \phi)} f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)\rho^2\sin\phi d\rho \]
第一型曲线积分
定义
若 \(C\) 是空间（或平面）一有限曲线段，\(f(P)\) 是 \(C\) 上点函数，在引进坐标系下，\(f(P) = f(x,y,z)(f(x,y))\)，称 \(f(P)\) 在 \(C\) 上黎曼积分叫 \(f\) 在 \(C\) 上的第一型曲线积分，记为 \[ \int\limits_C f(x,y,z) ds \left(或\int\limits_C f(x,y)ds\right) \]
物理意义
表示以 \(f(x,y,z)\) 或 \(f(x,y)\) 为线密度的曲线 \(C\) 的质量的代数和。
几何意义
表示以 \(C\) 为准线，母线平行于 \(oz\) 轴的柱面介于 \(oxy\) 平面与 \(z=f(x,y)\) 之间面积的代数和。
计算方法
将曲线 \(C\) 用参数方程来表示，然后代入积分公式转化成一元积分。
第一型曲面积分
定义
若 \(S\) 是空间上一有限曲面，\(f(P)\) 是 \(S\) 上的点函数，在引进坐标系下，\(f(P) = f(x,y,z)\)，\(f(P)\) 在 \(S\) 上黎曼积分叫 \(f(P)\) 在 \(S\) 上的第一型曲面积分，记为 \[ \iint\limits_S f(x,y,z) dS \]
物理意义
表示以 \(f(x,y,z)\) 为面密度的曲面 \(S\) 的质量的代数和。
计算方法
转化为二重积分 \[ \iint\limits_S f(x,y,z)dS = \iint\limits_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{g_x^{\prime\ 2} + g_y^{\prime\ 2} + 1} dxdy \]