级数

定义

设 \(\{a_n\}\) 为一个无穷数列，用 + 将 \(a_n\) 的项依次连起来，得到一个式子 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\)，称此式子为 （无穷数项）级数，简记为 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)

\(a_1\) 称为第一项，\(a_n\) 称为通项，\(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 称为部分和。

敛散性

设 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 为一级数，\(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 为其部分和，若 \(\lim\limits_{n\to\infty} S_n\) 存在，则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛，此时 \(\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)。若 \(\lim\limits_{n\to\infty} S_n\) 不存在，则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 发散。

性质

1. \(k \ne 0\) 时，\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 与 \(\sum\limits_{n=1}^\infty ka_n\) 的敛散性一致，且收敛时 \(\sum\limits_{n=1}^\infty ka_n = k\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)。
2. 若 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 与 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 都收敛，则 \(\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n)\) 也收敛，且 \(\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \pm \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\)。
3. 一个级数去掉或添加有限项不改变级数的敛散性。
4. 收敛级数满足结合律。
5. 若 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\)。

两个重要级数

等比级数

\[\sum\limits_{n=1}^\infty r^n\]

当 \(\vert r\vert < 1\) 时收敛；

当 \(\vert r \vert \ge 1\) 时发散。

p-级数

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\]

当 \(0 < p \le 1\) 时发散；

当 \(p>1\) 时收敛。

正项级数

定义

称满足 \(a_n > 0\) 的无穷级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 为正项级数。

敛散性判别法

1. 正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) 部分和有上界。
2. 比较判别法

设 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)，\(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 为两个正项级数，若从某项以后有 \(a_n \le b_n\)，则

当 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 收敛时，\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛；

当 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 发散时，\(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\) 发散。

交错级数

定义

设 \(a_n > 0\)，称 \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) 或 \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n\) 为交错级数。

性质

设交错级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) 满足 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\)，且 \(a_n \ge a_{n+1}\)，\(n = 1, 2, \cdots\)，则交错级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) 收敛。

绝对收敛级数

定义

若 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \vert u_n \vert\) 收敛，则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 为绝对收敛。

性质

• 绝对收敛级数必收敛
• 绝对收敛级数满足交换律

条件收敛级数

定义

若 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \vert u_n \vert\) 发散，而 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 收敛，则称级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 条件收敛。

性质

条件收敛级数不满足交换律。