函数项级数

定义

设 \(f_n(x)\) 是定义在 \(D\) 上的一串函数（\(n = 1, 2, 3, \cdots\)），也称之为函数序列，用 + 号将其一次连接起来，\(f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x) + \cdots \triangleq \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\) 称之为 \(D\) 上的函数项级数。\(S_n = f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)\) 称为部分和。\(r_n(x) = f_{n+1}(x) + f_{n+2}(x) + \cdots\) 为函数项级数的余项。

对 \(x_0 \in D\)，若 \(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x_0)\) 收敛，则称 \(x_0\) 为 \(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\) 的收敛点，收敛点的全体组成的集合称为 \(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\) 的收敛域，记 \(S(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(x)\)，称 \(S(x)\) 为函数项级数的和函数。

性质

定理1\(\quad\) 函数项级数和函数的连续性

设 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛，且级数每一项 \(u_n(x)\) 在 \([a, b]\) 上都连续，则和函数 \(S(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续。

定理2\(\quad\) 函数项级数逐项积分性

定理3\(\quad\) 函数项级数逐项微分性

幂级数

定义

称 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \cdots\) 为标准的幂级数，这里 \(a_n\)，\(n = 0, 1, 2, \cdots\) 称之为幂级数的系数。

称 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + \cdots + a_n(x-x_0)^n + \cdots\) 为一般型幂级数。

称 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n \phi^n(x)\) 为广义幂级数。

对于 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\)，当 \(x=0\) 时，级数收敛，若除 \(0\) 以外没有收敛点称为级数发散。

任何一个标准的幂级数 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\)，都存在唯一一个 \(R\)，\((R \ge 0 或 R = +\infty)\) 使 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \((-R, R)\) 内绝对收敛，在 \((-\infty, -R)\) 和 \((R, +\infty)\) 上发散，则称 \(R\) 为 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛半径，\((-R, R)\) 称之为 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛区间。

\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛域 \(=\) 收敛区间 \((-R, R) \cup \pm R\) 中收敛的点

性质

设 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(x_0 \ne 0\) 点收敛，则 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(\vert x\vert < \vert x_0 \vert\) 上绝对收敛。

推论：如果 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(x_0\) 点发散，则 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(\vert x\vert > \vert x_0\vert\) 上发散。

设 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 满足 \(\lim\limits_{n\to\infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\) （或 \(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\vert a_n\vert}\)）\(= \rho \ge 0\)（或 \(+\infty\)），则 \(R = \frac{1}{\rho}\) 是 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) 的收敛半径。