三角级数

定义

称 \(\frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx + b_n \sin nx\) 为三角级数。

傅里叶级数

定义

若 \(f(x)\) 以 \(2\pi\) 为周期，且以下积分存在 \[ \begin{split} &a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx \\ &a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nxdx \\ &b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nxdx \end{split} \] 称 \(\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos nx + b_n \sin nx\) 为 \(f(x)\) 的傅里叶级数，简称为 \(F-\) 级数。

其中 \(a_0, a_n, b_n(n=1,2,\cdots)\) 为傅里叶系数。

若 \(f(x)\) 为奇函数，\(a_0 = a_n = 0(n=1, 2, \cdots)\)，\(b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx dx\)，此时 \(F-\) 级数变为 \(\sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin nx\)，称为 \(F-\) 正弦型级数。

若 \(f(x)\) 为偶函数，\(b_n = 0, a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)dx, a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx dx, (n=1,2,\cdots)\)，此时 \(F-\) 级数变为 \(\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos nx\)，称为 \(F-\) 余弦型级数

狄利克雷定理

若 \(f(x)\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上满足： 1. 至多有限个第一类间断点 2. 至多有限个极值

则 \(f(x)\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上 \(F-\) 级数收敛，且 \[ \frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \begin{cases} f(x) & x 为 (-\pi, \pi) 的连续点 \\ \frac{1}{2} \left[f(x^+) + f(x^-)\right] & x 为 (-\pi, \pi) 的第一类间断点 \\ \frac{1}{2} \left[f(-\pi^+) + f(\pi^-)\right]& x = \pm\pi \end{cases} \]

以 \(2l\) 为周期的函数的傅里叶级数

\(f(x)\) 在 \([-l, l]\) 的 \(F-\) 级数为 \(\frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n\pi}{l}x + b_n \sin \frac{n\pi}{l}x\right)\)，其中 \[ \begin{split} &a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)dx \\ &a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi}{l}xdx \\ &b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \frac{n\pi}{l}xdx \end{split} \]

有限区间上函数的傅里叶级数

对在 \([a,b]\) 定义的函数 \(f(x)\) 的傅里叶级数，可以将 \(f(x)\) 延拓成以 \(T = b-a\) 为周期的函数

在 \([0,l]\) 上的正弦型级数

方法： 将 \(f(x)\) 奇延拓成 \([-l, l]\) 上的奇函数 \[ g(x) = \begin{cases} f(x) & x \in [0, l] \\ -f(x) & x \in [-l, 0) \end{cases} \] 则 \(g(x)\) 在 \([-l, l]\) 上的 \(F-\) 级数就是 \(f(x)\) 在 \([0, l]\) 上正弦型级数。 \[ b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n\pi}{l}xdx \] \[ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{n\pi}{l}x = \begin{cases} \begin{gather*} \frac{1}{2}\left[f(x^+) + f(x^-)\right] &x\in (0, l) \\ 0 & x=0,l \end{gather*} \end{cases} \]