第二型积分

定义

设 \(\Omega\) 为空间上一有向几何体，即在 \(\Omega\) 上每一点 \(P\) 处都确定了一方向 \(\overrightarrow{e_P}\)，\(P \in \Omega\)，\(\overrightarrow{A}(P)\) 为 \(\Omega\) 上一向量值函数。首先，将 \(\Omega\) 任意分成 \(n\) 个有向几何体 \(\Delta\Omega_1, \Delta\Omega_2, \cdots, \Delta\Omega_n\)；然后在每一个有向几何体上做内积 \(\overrightarrow{A}(P) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i}(i = 1, 2, \cdots, n), P_i \in \Delta\Omega_i\)，\(\Delta\overrightarrow{\Omega_i}\) 是以 \(\Delta\Omega_i\) 的几何量为模，以 \(P_i\) 点的方向为方向的向量，再将上述内积加起来得 \(\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{A}(P_i) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i}\)。若无论 \(\Omega\) 如何分，\(P_i \in \Delta \Omega_i\)如何取，极限 \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{A}(P_i) \cdot \Delta \overrightarrow{\Omega_i}\)，\(\lambda = \max\{d_i \vert i = 1,2,\cdots, n\}\)，\(d_i\) 是 \(\Delta \Omega_i\) 的直径，都存在且相等，则称此极限值为 \(\overrightarrow{A}(P_i)\) 在 \(\Omega\) 上给定方向 \(\overrightarrow{e_P}\) 下的第二型积分，记为

\[ \lim\limits_{\lambda\to 0} \sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{A}(P_i) \cdot \Delta\overrightarrow{\Omega_i} \triangleq \int\limits_\Omega \overrightarrow{A} (P) d \overrightarrow{\Omega} \]

性质

第二型曲线积分

定义

设 \(C\) 是空间一有向曲线，其方向为其切线给定方向，引入直角坐标，\(\overrightarrow{A}(P) = \{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\) 是 \(C\) 上连续函数，则

\[ d\Omega \cos\alpha_P = dx,\quad d\Omega\cos\beta_P = dy,\quad d\Omega\cos \gamma_P = dz \]

称 \(\int\limits_C \overrightarrow{A}(P) d\overrightarrow{\Omega} = \int\limits_C Pdx + Qdy + Rdz\) 为 \(\overrightarrow{A}(x,y,z)\) 在 \(C\) 上给定方向的第二型曲线积分。

计算方法

参数法

设曲线 \(C\) 为 \(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}\) 始点 \(t=a\)，终点 \(t=b\)，\(C\) 为光滑曲线，则 \[ \begin{split} \int\limits_C Pdx + Qdy + Rdz & = \int_a^b Pdx(t) + Qdy(t) + Rdz(t) \\ & =\int_a^b \left[P x'(t) + Qy'(t) + Rz'(t)\right]dt \end{split} \]

格林公式

设 \(D\) 为单连通区域，\(C\) 为 \(D\) 的边界闭曲线，其方向为正向。\(P(x,y), Q(x,y)\) 是 \(C+D\) 上具有连续一阶偏导的函数，则 \[ \oint\limits_C P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \oiint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy \]

推广

设曲线 \(C\) 是由 \(n+1\) 条简单连续、逐段光滑闭曲线 \(C_0, C_1, \cdots, C_n\) 组成，其中 \(C_1, \cdots, C_n\) 互不相交，每条都在其余 \(n-1\) 条外部区域内，而它们全体又在 \(C_0\) 所围区域内部。\(C_0\) 与 \(C_1, \cdots, C_n\) 所界定区域为 \(D\)，\(C\) 的方向对 \(D\) 而言为左手域方向，而 \(P(x,y), Q(x,y)\) 又是 \(C+D\) 上具有连续一阶偏导的函数，则 \[ \oint\limits_C P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \oiint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy \]

斯托克斯公式

设 \(C\) 为分段光滑有向闭曲线，\(S\) 是以 \(C\) 为边界的任一分片光滑的有向曲面，\(C\) 与 \(S\) 的方向满足右手螺旋方向，函数 \(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)\) 是 \(S+C\) 上具有连续偏导的函数，则 \[ \begin{split} \oint\limits_C Pdx + Qdy + Rdz & =\iint\limits_S \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy \\ & = \iint\limits_S \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ & = \iint\limits_S \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS \end{split} \]

平面曲线积分与路径无关

设 \(D\) 为单连通区域，\(P, Q\) 为 \(D\) 上具有连续一阶偏导的函数，在 \(D\) 上下述四结论等价： 1. \(D\) 上任意闭曲线 \(C\)，有 \(\oint\limits_C Pdx + Qdy = 0\) 2. \(D\) 上第二型曲线积分 \(\int\limits_{AB} Pdx + Qdy\) 与路径无关 3. \(Pdx + Qdy\) 是全微分 4. \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)

全微分方程

定义

如果一阶微分方程 \(Pdx + Qdy = 0\) 满足 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)，则称此方程为全微分方程（恰当方程）。

解法

\[ \begin{split} 通解公式\ u(x,y) = & \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} Pdx + Qdy = C \\ & \int_{x_0}^x P(x,y_0)dx + \int_{y_0}^y Q(x,y)dy = C \end{split} \]

更一般地，方程两端乘以一个因子 \(u(x,y)\) 才可以变成全微分方程。

空间曲线积分与路径无关

设 \(\Omega\) 为空间二维单连通区域，\(P, Q, R\) 为 \(\Omega\) 上具有连续一阶偏导的函数，在 \(\Omega\) 上下述四结论等价： 1. \(\Omega\) 上任意闭曲线 \(C\)，有 \(\oint\limits_C Pdx + Qdy + Rdz = 0\) 2. \(\Omega\) 上第二型曲线积分 \(\int_{AB} Pdx + Qdy + Rdz\) 与路径无关 3. \(Pdx + Qdy + Rdz\) 是全微分 4. \(\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)

第二型曲面积分

定义

设 \(S\) 是空间一有向曲面，其方向 \(\overrightarrow{n_P}, P \in S\) 为给定 \(S\) 上一法向，\(\overrightarrow{A}(P) = \{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\) 是 \(S\) 上连续函数，则 \[ d\Omega \cos\alpha_P = dydz,\quad d\Omega\cos\beta_P = dzdx,\quad d\Omega\cos \gamma_P = dxdy \] 称 \(\int\limits_S \overrightarrow{A}(P) d\overrightarrow{\Omega} = \int\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\) 为 \(\overrightarrow{A}(x,y,z)\) 在 \(S\) 上给定一侧的第二型曲面积分。

计算方法

分面计算法

\[ \iint\limits_S Rdxdy = \begin{cases} \iint\limits_{D_{xy}} R(x, y, g(x,y)) dxdy & S为上侧 \\ -\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y, g(x,y)) dxdy & S为下侧 \end{cases} \]

\[ \iint\limits_S Pdydz = \begin{cases} \iint\limits_{D_{yz}} P(g(y,z), y, z) dydz & S为前侧 \\ -\iint\limits_{D_{yz}} R(g(y, z), y, z) dydz & S为后侧 \end{cases} \]

\[ \iint\limits_S Qdzdx = \begin{cases} \iint\limits_{D_{xz}} Q(x, g(x, z), z) dxdy & S为右侧 \\ -\iint\limits_{D_{xz}} Q(x, g(x, z), z) dxdy & S为左侧 \end{cases} \]

投影法

\[ \begin{split} \iint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy & =\iint\limits_S \left[P\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right) + Q\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right) + R\right]dxdy \\ & = \pm \iint\limits_D \left[P\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right) + Q\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right) + R\right]dxdy \end{split} \]

高斯公式

设空间二维单连通区域 \(\Omega\) 的边界 \(S\) 是光滑的，其方向为外法方向，函数 \(P(x,y,z)\)，\(Q(x,y,z)\)，\(R(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上具有连续一阶偏导数，则有 \[ \oiint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint\limits_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) d\Omega \]

推广

设 \(S\) 是由两个闭曲面 \(S_1, S_2\) 组成，\(S_1\) 的方向为外法方向，\(S_2\) 的方向为内法方向，且 \(S_2\) 在 \(S_1\) 所围区域内部，介于 \(S_1, S_2\) 之间区域为 \(\Omega\)，函数 \(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 与 \(S\) 上具有连续一阶偏导数，则有 \[ \oiint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint\limits_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) d\Omega \]

向量场

平均散发量

散度

定义

\(\lim\limits_{\Delta\Omega \to M} \frac{1}{\Delta\Omega} \oiint\limits_{\Delta S} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)（\(\Delta S\) 为外法方向），记为 \(\operatorname{div} \overrightarrow{A}(M)\)

当 \(\operatorname{div}\overrightarrow{A}(M) > 0\) 时，\(M\) 点为 \(\overrightarrow{A}\) 的正源

当 \(\operatorname{div}\overrightarrow{A}(M) < 0\) 时，\(M\) 点为 \(\overrightarrow{A}\) 的负源

当 \(\operatorname{div}\overrightarrow{A}(M) = 0\) 时，\(M\) 点非 \(\overrightarrow{A}\) 的源

计算

\[ \begin{split} \operatorname{div} \overrightarrow{A}(M_0)& = \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)\Bigg|_{M_0} \\ & = \nabla \overrightarrow{A}(M_0) \end{split} \]

环流面密度

定义

\(\lim\limits_{\Delta S \to M}\frac{1}{\Delta S} \oint\limits_{\Delta C} Pdx + Qdy + Rdz\)

计算

\[ \lim\limits_{\Delta S \to M}\frac{1}{\Delta S} \oint\limits_{\Delta C} Pdx + Qdy + Rdz = \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}_M \]

旋度

定义

记为 \(\operatorname{rot}\overrightarrow{A}(M) = \overrightarrow{H}\)