多元函数

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多元函数的基本概念

N 维空间

称有序数组 \((x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 为一个 \(n\) 维点（\(n\) 维向量）。所有 \(n\) 维点组成的集合称之为 \(n\) 维空间，记为 \(\mathbb{R}^n\)。

N 维空间的距离

设 \(A(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 和 \(B(y_1, y_2, \cdots, y_n)\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 空间上任意两点，称 \[ \rho(A, B) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} \] 为 \(A, B\) 两点间的距离。

邻域

设 \(\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n\)，\(\delta\) 是某一正数，则 \(n\) 维空间内的点集 \[ U(a, \delta) = \{x|x\in \mathbb{R}^n, \rho(x, a) < \delta\} \] 就定义为 \(\mathbb{R}^n\) 中点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域。

记 \(\mathring{U}(a, \delta)\) 为不含 \(a\) 点的去心邻域。

内点、界点和聚点

  • 内点：设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(P_0 \in \mathbb{R}^n\)，若存在 \(P_0\) 的一个邻域使此邻域属于 \(D\)，称 \(P_0\) 为 \(D\) 的内点。

  • 界点：设 \(D \subset \mathbb{R}^n\)，\(P_0 \in \mathbb{R}^n\)，若对 \(P_0\) 的任何邻域总有 \(D\) 中的点且总有 \(D\) 外的点，则称 \(P_0\) 为 \(D\) 的界点。

  • 聚点：\(\forall \delta > 0\)，点 \(P_0\) 的去心邻域 \(\mathring{U}(P_0, \delta)\) 中总有 \(D\) 中的无穷多个点，称 \(P_0\) 为集合 \(D\) 的一个聚点。

其他

  • 边界：界点的全体称为 \(D\) 的边界。
  • 开集：由全部内点组成的集合称为开集。
  • 开区域：连通的开集称为开区域。
  • 闭区域：开区域 + 边界 = 闭区域。
  • 有界集：对平面点集 \(E\)，若 \(\exists r > 0\)，\(E \subset U(O, r)\)，\(O\) 为坐标原点，称 \(E\) 为有界集。 # 多元函数的极限

定义

设 \(z = f(P) = f(x, y)\) 在 \(D\) 上有定义，\(P_0(x_0, y_0)\) 为 \(D\) 的一聚点，\(A\) 是一实数，若对 \(\forall \varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < \rho(P, P_0) < \delta\) 时，恒有 \[ \left\vert f(P) - A \right\vert = \left\vert f(x, y) - A \right\vert < \varepsilon \] 则称二元函数 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0\) 处有二重极限。

记 \(\lim\limits_{P \to P_0} f(P) = \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = \lim\limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y) = A\)

性质

\(\lim\limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y)\) 存在 \(\Leftrightarrow\) 点 \(P(x, y)\) 沿任何方向、任何路径趋向于 \(P_0(x_0, y_0)\) 时，极限都存在且相等。

连续

定义

设 \((x_0, y_0)\) 是 \(D\) 的聚点，\(z = f(x, y)\) 在 \(D\) 上有定义，且 \(\lim\limits_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y) = f(x_0, y_0)\) 或 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0}\left[f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\right] = 0\)，则称 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续。

性质

反函数性质去掉，其他的和一元函数相同。

偏导数

定义

设 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 邻域内有定义，固定 \(y= y_0\)，若极限 \(\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x,y_0) - f(x_0, y_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}\) 存在，则称 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处关于 \(x\) 的偏导数存在。

记为 \(z'_x \Big| _{x=x_0\atop y=y_0} = f'_x(x_0, y_0) = f'_1(x_0, y_0) = \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0)}\)

同样定义

\[ \begin{split} \lim\limits_{y\to y_0} \frac{f(x_0,y) - f(x_0, y_0)}{y-y_0} = \lim\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x_0 , y_0+ \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} \\ = z'_y \Big| _{x=x_0\atop y=y_0} = f'_y(x_0, y_0) = f'_2(x_0, y_0) = \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0)} \end{split} \]

设 \(z=f(x,y)\) 在 \(D\) 上每一点都有偏导，则其偏导又是 \(D\) 上一个新的二元函数——称之为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上的偏导（函）数。

记为 \(z'_x = f'_x = f'_1 = \frac{\partial z}{\partial x}\)；\(z'_y = f'_y = f'_2 = \frac{\partial z}{\partial y}\)。

几何意义

\(f'_x(x_0, y_0)\) 表示曲线 \(\begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x,y) \end{cases}\) 在点 \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) 处切线的斜率。

性质

若 \(z = f(x,y)\) 的二阶混合偏导数 \(f''_{xy}, f_{yx}''\) 都存在且连续，则 \(f''_{xy} = f_{yx}''\)。

全微分

定义

设 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 邻域内有定义，\(f(x,y)\) 的全增量 \(\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\) 可表示为 \(\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)\)，其中 \(A, B\) 为常数，\(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)，则称 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，并称 \(A\Delta x + B\Delta y\) 为 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的全微分。

记为 \(dz\)，即 \(dz = A\Delta x + B\Delta y = Adx + Bdy\)

性质

  • 设 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点可微，则 \(f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点处连续。

  • 设 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点可微，则 \(f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点处两个偏导数 \(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\) 都存在，且 \[ dz \Big|_{x=x_0\atop y=y_0} = f'_x(x_0, y_0)dx + f'_y(x_0, y_0)dy \]

  • 设 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点偏导数 \(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\) 都存在，且这两个偏导又在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，则 \(f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点可微。

几何意义

\(z = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y-y_0)\) 是一个平面。

该平面是过曲线 \(\begin{cases} x = x_0 \\ z = f(x,y) \end{cases}\) 和 \(\begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x,y) \end{cases}\) 在点 \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) 处两切线的平面。

复合函数

链式法则

设 \(z = f(u, v)\) 可微，而 \(u = \varphi(x,y),v=\psi(x,y)\) 偏导存在，则 \(z\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数存在，且 \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f'_u\varphi'_x + f'_v \psi'_x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f'_u\varphi'_x + f'_v \psi'_x \]

全微分

设 \(z = f(u,v),u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\) 均可微，则不论将 \(z\) 看成 \((u,z)\) 的函数还是 \((x,y)\) 的函数，其微分形式不变，即 \[ dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

隐函数

隐函数存在的微分法则

设 \(F(x,y)\) 是 \((x_0,y_0)\) 邻域内满足 1. \(F(x_0,y_0) = 0\) 2. \(F'_x(x,y),F'_y(x,y)\) 连续 3. \(F'_y(x_0,y_0)\ne 0\)

则方程 \(F(x,y)=0\) 在 \((x_0,y_0)\) 邻域内能唯一确定 \(y=f(x)\)，且此函数连续可导，而 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}\)

推广

设 \(F(x,y,z)\) 是 \((x_0,y_0,z_0)\) 邻域内满足 1. \(F(x_0, y_0, z_0) = 0\) 2. \(F'_x(x,y,z),F'_y(x,y,z),F'_z(x,y,z)\) 连续 3. \(F'_z(x_0,y_0,z_0) \ne 0\)

则方程 \(F(x,y,z) = 0\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 邻域唯一确定一个单值函数 \(z=f(x,y)\)，且此函数连续可导，而 \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z} \]

方程组确定隐函数

存在准则

略，不常用且难记。

前置芝士

\(n\) 个方程，\(m\) 个变量组成方程组（\(m>n\)）能确定 \(n\) 个 \(m-n\) 元函数。

解法

求解的时候判断是一元函数还是多元函数，一元函数就求导，多元函数就求偏导，最后解方程组即可求出答案。

极值

二元函数的 Taylor 公式

若 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 邻域内有 \(n+1\) 阶连续偏导数，则称 \[ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + \frac{1}{1!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^2f(x_0, y_0) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^nf(x_0, y_0) + \frac{1}{(n+1)!}\left(\Delta x\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y),\theta \in (0,1) \] 为 \(f(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点处 \(n\) 阶 Taylor 公式。

二元函数极值

设 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 邻域内有连续二阶偏导，且 \[ f'_x(x_0,y_0) = f'_y(x_0,y_0) = 0 \] 令 \(A = f''_{xx}(x_0, y_0), B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)\) 1. 当 \(\Delta = B^2 - AC >0\) 时，\(f(x_0,y_0)\) 不是极值； 2. 当 \(\Delta = B^2 - AC < 0\)时，\(f(x_0,y_0)\) 是极值。 - 若 \(A>0\)（或 \(C>0\)）时，\(f(x_0,y_0)\) 是极小值； - 若 \(A<0\)（或 \(C<0\)）时，\(f(x_0,y_0)\) 是极大值。

条件极值

定义

若 \(z = f(x,y)\) 为 \(D\) 上的二元函数，求 \(z=f(x,y)\) 在 \(D\) 上满足条件 \(g(x,y)=0\) 的极值称之为函数的条件极值。

拉格朗日乘数法

设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 为 \(D\) 上 \(n\) 元函数，\(g_i(x_1, x_2, \cdots, x_n)=0\)（\(i = 1,2,\cdots,m\) 且 \(m < n\)）是 \(D\) 上 \(m\) 个条件，则 \(f\) 在这 \(m\) 个条件下极值（驻点）等价于（\(m+n\)）元函数 \[ F(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m) = f(x_1,x_2,\cdots,x_n) + \sum\limits_{i=1}^m \lambda_ig_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) \] 的无条件极值（驻点）。

关系图

连续 偏导 可微 方向导数
连续 √ × × ×
偏导 × √ × ×
可微 √ √ √ √
方向导数 × × × √
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