二次型
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合同矩阵
定义
给定两个 \(n\) 阶方阵 \(A\) 和 \(B\)，如果存在可逆矩阵 \(C\)，使得 \[ B = C^\prime A C \]
则称 \(A\) 和 \(B\) 合同。
性质
- 自反性：任一 \(n\) 阶方阵 \(A\) 都与自身合同
- 对称性：若 \(A\) 与 \(B\) 合同，则 \(B\) 与 \(A\) 合同
- 传递性：若 \(A\) 与 \(B\) 合同，且 \(B\) 与 \(C\) 合同，则 \(A\) 与 \(C\) 合同
对任一实对称矩阵 \(A\)，存在正交矩阵 \(P\)，使 \(P^{-1}AP = P^\prime AP = D\) 为对角矩阵，因此，任一实对称矩阵都与对角矩阵合同。
对称矩阵与非对称矩阵不合同。
若 \(A, B\) 均为实对称矩阵，则 \[ A \backsimeq B \Leftrightarrow A与B的正惯性指数，负惯性指数对应相等 \]
二次型
定义
含有 \(n\) 个变量 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，而系数取自数域 \(F\) 的 \(n\) 元二次齐次函数 \[ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n a_{ij}x_ix_j \] 称为数域 \(F\) 上的 \(n\) 元二次型，简称二次型。
记 \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} ,\ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \]
则二次型可记为 \[ f = X^\prime A X \]
称对称矩阵 \(A\) 为二次型 \(f\) 的对称矩阵，称 \(A\) 的秩为二次型 \(f\) 的秩。
化标准形
称只含平方项的二次型为标准二次型。
称形如 \[ f = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p + 1}^2 - \cdots - y_{p + 1}^2 \]
的实二次型为规范二次型。 ### 正交变换 对任意 \(n\) 元实二次型 \[ f = X^\prime AX \]
存在正交线性变换 \[ X = PY \]
将二次型 \(f\) 化为标准形 \[ f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2 \]
其中 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个特征值。
拉格朗日配方法
初等变换（狗都不用）
正定实二次型
惯性定律
设 \(n\) 元实二次型 \(f = X^\prime AX\) 经实可逆线性变换 \(X = C_1Y, X = C_2Z\) 分别化为标准形 \[ f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + \cdots + k_ny_n^2\\ f = l_1z_1^2 + l_2z_2^2 + \cdots + l_nz_n^2 \]
则 \(k_1, k_2, \cdots, k_n\) 中正数的个数与 \(l_1, l_2, \cdots, l_n\) 中正数的个数相等，\(k_1, k_2, \cdots, k_n\)中负数的个数与 \(l_1, l_2, \cdots, l_n\) 中负数的个数也相等，分别称之为 \(f\) 的正惯性指数与负惯性指数。
正定二次型
定义
设有 \(n\) 元实二次型 \(f = X^\prime AX\)，如果对 \(\mathbb{R}^n\) 中任何列向量 \(X \ne 0\)，都有 \(X^\prime AX > 0\)，则称 \(f\) 为正定二次型。称正定二次型的矩阵为正定矩阵。
显然，正定矩阵一定是实对称矩阵，反之未必。
性质
设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵，顺序选取 \(A\) 的前 \(k(0 \le k \le n)\) 行、前 \(k\) 列构成的矩阵称为 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子阵，其行列式称为 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子式。
下面是 \(n\) 元实二次型 \(f = X^\prime AX\) 为正定二次型的充要条件： 1. \(f\) 的标准形中的 \(n\) 个系数全为正数，即 \(f\) 的正惯性指数是 \(n\)。 2. \(f\) 的矩阵 \(A\) 的特征值全大于零。 3. 存在实可逆矩阵 \(Q\)，使 \(A = Q^\prime Q\)。 4. \(A\) 的各阶顺序主子式都大于零。
空间中的曲面与直线
球面
已知球面的球心在点 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\)，半径是 \(r\)，则该球面方程为 \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \]
柱面
平行于定直线并沿定曲线 \(C\) 移动的直线 \(L\) 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 \(C\) 叫做柱面的准线，动直线 \(L\) 叫做柱面的母线。 ### 椭圆柱面 \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
双曲柱面
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
抛物柱面
\[ x^2 = 2py \]
旋转曲面
由一条平面曲线 \(C\) 绕该平面上的一条定直线 \(L\) 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，曲线 \(C\) 称为母线，直线 \(L\) 称为旋转轴。 ### 圆锥面 \[ z^2 = k^2(x^2 + y^2) \]
单叶旋转双曲面
\[ \frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1 \]
双叶旋转双曲面
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2 + z^2}{b^2} = 1 \]
旋转椭球面
\[ \frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 \]
旋转抛物面
\[ x^2 + y^2 = 2pz \]
空间曲线
空间曲线可以视为两个通过它的曲面的交线。若空间曲线 \(C\) 是两个曲面 \[ S_1 : F(x, y, z) = 0\\ S_2 : G(x, y, z) = 0 \]
的交线，则曲线 \(C\) 的方程为 \[ \begin{cases} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} \]
称其为空间曲线 \(C\) 的一般方程。
有时，空间曲线 \(C\) 的方程也可以用参数表示成 \[ \begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{cases} \]
设 \(C\) 是一条空间曲线，\(\pi\) 是一个平面，以 \(C\) 为准线，作母线垂直于 \(\pi\) 的柱面，该柱面与平面 \(\pi\) 的交线叫做 \(C\) 在平面 \(\pi\) 上的投影曲线，简称投影。
设曲线 \(C\) 的方程是 \[ \begin{cases} F_1(x, y, z) = 0\\ F_2(x, y, z) = 0 \end{cases} \]
从这个方程组中消去 \(z\) 可以得到以 \(C\) 为准线，母线垂直于 \(xOy\) 面的柱面方程 \[ F(x, y) = 0 \]
故曲线 \[ \begin{cases} F(x, y) = 0\\ z = 0 \end{cases} \]
是曲线 \(C\) 在 \(xOy\) 面上的投影。
二次曲线
一般的三元二次方程都可写成 \[ X^\prime AX + v^\prime X + a_{44} = 0 \]
存在正交变换 \[ X = PY \]
使二次型 \(X^\prime AX\) 化为标准二次型 \(\lambda_1x^{\prime 2} + \lambda_2y^{\prime 2} + \lambda_3z^{\prime 2}\)。这意味着存在三维几何空间中适当的直角坐标系，使原来的三元二次方程化成 \[ \lambda_1x^{\prime 2} + \lambda_2y^{\prime 2} + \lambda_3z^{\prime 2} + a_{14}^\prime x^\prime + a_{24}^\prime y^\prime + a_{34}^\prime z^\prime + a_{44} = 0 \]
再作平移变换，可化简为 \[ \lambda_1\bar{x}^2 + \lambda_2\bar y^2 + \lambda_3\bar z^2 = d \]
椭球面
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]
单叶双曲面
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \]
双叶双曲面
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \]
椭圆抛物面
\[ \frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z\quad（p, q\ 同号） \]
双曲抛物面（马鞍面）
\[ \frac{x^2}{2p} - \frac{y^2}{2q} = z\quad（p, q\ 同号） \]
二次锥面
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \]