导数
定义
设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点
仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 ；如果 与
之比当 时的极限存在，那么称函数
在点
处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即 也可记作 ， 或
如果函数 在开区间 内的每点处都可导，那么就称函数 在开区间 内可导。这是，对于任一 ，都对应这
的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 的导函数，记作
，， 或
函数 在
处的左导数和右导数，记作 及 函数 在点 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数 都存在且相等。
如果函数 在开区间 内可导，且 及 都存在，那么就说 在闭区间 上可导。
性质
如果函数 在点 处可导，那么函数在该点必连续。
求导法则
定理
如果函数 及 都在点
具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 具有导数，且 1. 2. 3.
定理
如果函数 在区间 内单调、可导且 ，那么它的反函数 在区间
内也可导，且
定理
如果 在点 可导，而 在点
可导，那么复合函数 在点
可导，且其导数为
隐函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数
微分
定义
设函数
在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量
可表示为 其中 是不依赖于 的常数，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即 函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导，且当 在点 可微时，其微分一定是
函数 在任意点
的微分，称为函数的微分，记作 或 ，即 通常把自变量 的增量
称为自变量的微分，记作 ，即 ，于是函数 的微分又可记作 从而有
微分法则
- 基本初等函数的微分公式
- 函数和、差、积、商的微分法则
- 复合函数的微分法则
微分中值定理
费马引理
设函数 在点 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 那么 。
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。
罗尔定理
如果函数 满足 1. 在闭区间
上连续 2. 在开区间 内可导 3.
在区间端点处的函数值相等，即
那么在 内至少有一点 （），使得 。
拉格朗日中值定理
如果函数 满足 1. 在闭区间
上连续 2. 在开区间 内可导
那么在 内至少有一点 （），使等式 成立
柯西中值定理
如果函数 及 满足 1. 在闭区间 上连续 2. 在开区间 内可导 3. 对任一
那么在 内至少有一点 ，使等式 成立
推论
如果函数 在区间 上连续， 内可导且导数恒为零，那么 在区间 上是一个常数。
洛必达法则
如果当 （或 ）时，两个函数 与 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限
可能存在、也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为
或 。
定理 1
设 1. 当 时，函数 及 都趋于零 2. 在点 的某去心邻域内， 及 都存在且 3. 存在（或为无穷大）
则
定理 2
设 1. 当 时，函数
及 都趋于零 2. 当 时 及 都存在且 3. 存在（或为无穷大）
则
泰勒公式
泰勒中值定理 1
如果函数 在 处具有 阶导数，那么存在 的一个邻域，对于该邻域内的任一 ，有 其中 称其为佩亚诺余项。
泰勒中值定理 2
如果函数 在 的某个邻域 具有 阶导数，那么对任一 ，有 其中 这里 是 与
之间的某个值，称其为拉格朗日余项。