微分方程

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高阶线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

定义

在二阶齐次线性微分方程 中，如果 ， 的系数 ， 均为常数 其中 是常数，那么称其为二阶常系数齐次线性微分方程。如果 不全为常数，称其为二阶变系数齐次线性微分方程。

解法

称 为微分方程的特征方程。

微分方程的通解有三种不同的情形 1. 特征方程有两个不相等的实根：

微分方程的通解为

  1. 特征方程有两个相等的实根：

微分方程的通解为

  1. 特征方程有一对共轭复根：，（）

此时微分方程的通解为

拓展

阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是 其中 都是常数。

此时微分方程的特征方程为

根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：

特征方程的根 微分方程通解中的对应项
重实根
一对 重复根

从代数学知道， 次代数方程有 个根（重根按重数计算），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到 阶常系数齐次线性微分方程的通解

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