数列的极限

定义

设 \(\{x_n\}\) 为一数列，如果存在常数 \(a\)，是对于任意给定的正数 \(\epsilon\)（不论它多么小），总存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\)时，不等式 \[ \left\vert x_n - a \right\vert < \varepsilon \] 都成立，那么就称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限，或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，记为 \[ \lim\limits_{n \to \infty }x_n = a \] 或 \[ x_n \to a \quad (n \to \infty) \] 如果不存在这样的常数 \(a\)，就说数列 \(\{x_n\}\) 没有极限，或者说数列 \(\{x_n\}\) 是发散的，习惯上也说 \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n\) 不存在。

数列极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a\) 的定义可表达为 \[ \lim\limits_{n \to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \, \exists \,正整数\,N，当\,n > N\,时，有\,\left\vert x_n - a\right\vert < \varepsilon \]

性质

定理 \(1\)（极限的唯一性）\(\quad\) 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么它的极限唯一。

定理 \(2\)（收敛数列的有界性）\(\quad\) 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界。

定理 \(3\)（收敛数列的保号性）\(\quad\) 如果 \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n = a\)，且 \(a > 0\)（或 \(a < 0\)），那么存在正整数 \(N\)，当 \(n > N\) 时，都有 \(x_n > 0\)（或 \(x_n < 0\)）。

推论\(\quad\) 如果数列 \(\{x_n\}\) 从某项起有 \(x_n \ge 0\)（或 \(x_n \le 0\)），且 \(\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a\)，那么 \(a \ge 0\)（或 \(a \le 0\)）。

定理 \(4\)（收敛数列与其子数列间的关系）\(\quad\) 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 \(a\)。

函数的极限

定义

定义 \(1\quad\) 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 \(A\)，对于任一给定的正数 \(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(x\) 满足不等式 \(0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \[ \left\vert f(x) < A \right\vert < \varepsilon \] 那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限，记作 \[ \lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A\ 或\ f(x) \to A\ (\ 当\ x \to x_0\ ) \] 定义 \(1\) 可以简单的表述为 \[ \lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 当 0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta 时, 有 \left\vert f(x) - A \right\vert < \varepsilon \] 在 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A\) 的定义中，把 \(0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta\) 改为 \(x_0 - \delta < x < x_0\)，那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的左极限，记作 \[ \lim\limits_{x \to x^-_0}f(x) = A \quad 或 \quad f(x_0^-) = A \] 类似的，把 \(0 < \left\vert x - x_0\right\vert < \delta\) 改为 \(x_0 < x < x_0 + \delta\)，那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的右极限，记作 \[ \lim\limits_{x \to x^+_0}f(x) = A \quad 或 \quad f(x_0^+) = A \] 函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 \[ f(x_0^-) = f(x_0^+) \] 定义 \(2\quad\) 设函数 \(f(x)\) 当 \(\left\vert x\right\vert\) 大于某一正数时有定义。如果存在常数 \(A\)，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)，总存在正数 \(X\)，使得当 \(x\) 满足不等式 \(\left\vert x\right\vert > X\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \[ \left\vert f(x) - A \right\vert < \varepsilon \] 那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to \infty\) 时的极限，记作 \[ \lim\limits_{x \to \infty} = A \quad 或 \quad f(x) \to A (当 x\to \infty) \] 定义 \(2\) 可简单地表达为 \[ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, 当 \left\vert x \right\vert > X时，有 \left\vert f(x) - A \right\vert < \varepsilon \]

性质

定理 \(1\)（函数极限的唯一性）\(\quad\) 如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在，那么这极限唯一。

定理 \(2\)（函数极限的局部有界性）\(\quad\) 如果 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A\)，那么存在常数 \(M>0\) 和 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta\) 时，有 \(\left\vert f(x) \right\vert \le M\)。

定理 \(3\)（函数极限的局部保号性）\(\quad\) 如果 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A\)，且 \(A > 0\)（或 \(A < 0\)，那么存在常数 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta\) 时，有 \(f(x) > 0\)（或 \(f(x) < 0\)）。

定理 \(3^\prime\quad\) 如果 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A(A \ne 0)\)，那么就存在着 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\)，当 \(x \in \mathring{U}(x_0)\) 时，就有 \(\left\vert f(x) \right\vert > \frac{\left\vert A\right\vert}{2}\)。

推论\(\quad\) 如果在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(f(x) \ge 0\)（或 \(f(x) \le 0\)），而且 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A\)，那么 \(A \ge 0\)（或 \(A \le 0\)）。

定理 \(4\)（函数极限与数列极限的关系）\(\quad\) 如果极限 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\) 存在，\(\{x_n\}\) 为函数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_0\) 的数列，且满足：\(x_n \ne x_0\)（\(n \in N_+\)），那么相应的函数值数列 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛，且 \(\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)\)。

无穷小

定义

如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\)（或 \(x \to \infty\)）时的极限为零，那么称函数 \(f(x)\) 为当 \(x \to x_0\)（或 \(x \to \infty\)）时的无穷小。 ## 性质 在自变量的同一变化过程 \(x \to x_0\)（或 \(x \to \infty\)）中，函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件时 \(f(x) = A + \alpha\)，其中 \(\alpha\) 是无穷小。 ## 比较 如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha} = 0\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta = o(\alpha)\)

如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha} = \infty\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小

如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha} = c \ne 0\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶的无穷小

如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha^k} = c \ne 0, k > 0\)，那么就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶的无穷小

如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha} = 1\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小，记作 \(\alpha \sim \beta\)

定理 \(1\quad\) \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小的充分必要条件为 \[ \beta = \alpha + o(\alpha) \]

定理 \(2\quad\) 设 \(\alpha \sim \tilde\alpha\)，\(\beta \sim \tilde\beta\)，且 \(\lim\limits\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha}\) 存在，则 \[ \lim\limits\frac{\beta}{\alpha} = \lim\limits\frac{\tilde\beta}{\tilde\alpha} \] # 无穷大 ## 定义 设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义（或 \(\left\vert x \right\vert\) 大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数 \(M\)（不论它有多大），总存在正数 \(\delta\)（或正数 \(X\)），只要 \(x\) 适合不等式 \(0 < \left\vert x - x_0 \right\vert < \delta\)（或 \(\left\vert x \right\vert > X\)），对应的函数值 \(f(x)\) 总满足不等式 \[ \left\vert f(x) \right\vert > M \] 那么称函数 \(f(x)\) 是当 \(x \to x_0\)（或 \(x \to \infty\)）时的无穷大。

性质

在自变量的同一变化过程中，如果 \(f(x)\) 为无穷大，那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷小；反之，如果 \(f(x)\) 为无穷小，且 \(f(x) \ne 0\)，那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大。

极限运算法则

定理 \(1\quad\) 有限个无穷小的和是无穷小

定理 \(2\quad\) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论 \(1\quad\) 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论 \(2\quad\) 有限个无穷小的乘积是无穷小

定理 \(3\quad\) 如果 \(\lim f(x)=A, \lim g(x) = B\)，那么

1. \(\lim\left[f(x) \pm g(x) \right] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B\)
2. \(\lim\left[f(x) \cdot g(x) \right] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B\)
3. 若又有 \(B \ne 0\)，则

\[ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B} \]

定理 \(4\quad\) 设有数列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\)。如果 \[ \lim\limits_{n\to\infty}x_n = A,\quad \lim\limits_{n\to\infty}y_n = B \] 那么 1. \(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n\pm y_n) = A \pm B\) 2. \(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n \cdot y_n) = A \cdot B\) 3. 当 \(y_n \ne 0\)（\(n = 1, 2, \cdots\)）且 \(B \ne 0\) 时，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}\)

定理 \(5\quad\) 如果 \(\varphi(x) \ge \psi(x)\)，而 \(\lim\limits \varphi(x) = A\)，\(\lim\limits \psi(x) = B\)，那么 \(A \ge B\)。

定理 \(6\)（复合函数的极限运算法则）\(\quad\) 设函数 \(y = f\left[g(x)\right]\) 是由函数 \(u = g(x)\) 与函数 \(y = f(u)\) 复合而成，\(f\left[g(x)\right]\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义，若 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = u_0\)，\(\lim\limits_{u \to u_0}f(u) = A\)，且存在 \(\delta_0 > 0\)，当 \(x \in \mathring{U}(x_0, \delta_0)\) 时，有 \(g(x) \ne u_0\)，则 \[ \lim\limits_{x \to x_0}f\left[g(x)\right] = \lim\limits_{u\to u_0}f(u) = A \]

极限存在准则

准则 \(\mathrm{I}\quad\) 如果数列 \(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\) 及 \(\{z_n\}\) 满足下列条件： 1. 从某项起，即 \(\exists n_0 \in \mathbb{N}^+\)，当 \(n > n_0\) 时，有 \[ y_n \le x_n \le z_n \] 2. \(\lim\limits_{n \to \infty}y_n = a, \lim\limits_{n\to\infty}z_n = a\)

那么数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在，且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a\)

准则 \(\mathrm{I}^\prime\quad\) 如果 1. 当 \(x \in \mathring{U}(x_0, r)\)（或 \(\left\vert x \right\vert > M\)）时，

\[ g(x) \le f(x) \le h(x) \]

2. \(\lim\limits_{x\to x_0 \atop (x \to \infty)}g(x) = A, \lim\limits_{x\to x_0 \atop (x\to\infty)}h(x) = A\)

那么 \(\lim\limits_{x\to x_0 \atop (x\to \infty)}f(x)\) 存在，且等于 \(A\)。

准则 \(\mathrm{I}\) 及准则 \(\mathrm{I}^\prime\) 称为夹逼准则。

准则 \(\mathrm{II}\quad\) 单调有界数列必有极限。